El a debutat în prima divizie la Steaua în 1969, echipă pentru care a evoluat până în 1973, apoi s-a transferat la Universitatea Craiova, unde a cunoscut cele mai mari performanţe, ca fundaş central şi libero.
Pentru gruparea olteană, Ştefănescu a evoluat timp de 13 sezoane şi a ajuns până în semifinalele Cupei UEFA în 1983, fiind căpitanul „leilor”, dar şi în sferturile Cupei Campionilor Europeni, în 1982.
În 1986, Costică Ştefănescu s-a transferat la FC Braşov, la gruparea aredeleană încheindu-şi cariera în 1988.
În prima divizie a evoluat de 490 de ori, fiind pe locul doi într-un clasament „all-time”, după Ionel Dănciulescu. El a deţinut recordul de prezenţe în prima divizie până în octombrie 2012, când a fost depăşit de Dănciulescu.
Ca jucător, Costică Ştefănescu a câştigat de trei ori Cupa României cu Steaua (1969, 1970, 1971), de patru ori cu Universitatea Craiova (1977, 1978, 1981 şi 1983) şi a cucerit trei titluri de campion al României cu gruparea olteană (1974, 1980 şi 1981).
Pentru prima reprezentativă, Ştefănescu a evoluat de 66 de ori în perioada 1977-1985, fiind căpitanul echipei naţionale la turneul final al Campionatului European din 1984.
În cariera de antrenor, Costică Ştefănescu a lucrat la echipele FC Braşov, Steaua, Al Wakrah, FCM Bacău, FC Timişoara, Astra Ploieşti, Hapoel Holon, Al Shola, Al Jaish, Universitatea Craiova, Al Wahda, SC Najran, Al Tadamon şi a fost secundul lui Anghel Iordănescu la echipa naţională în perioada 1994-1998.
Costică Ştefănescu a încetat din viaţă, marţi seară, la vârsta de 62 de ani, după ce s-a aruncat de la etajul 5 al Spitalului Militar din Capitală, au declarat, pentru MEDIAFAX, surse din Poliţie.
Potrivit surselor citate, la 112 a fost primit, la ora 18.20, un apel prin care s-a semnalat că fosta glorie a Universităţii Craiova şi a echipei naţionale s-a aruncat de la etaj. Costică Ştefănescu suferea de o boală incurabilă.